Lo studio dell'algebra lineare e la sua utilità

Molti di coloro che leggono questo articoletto conosceranno, almeno a grandi linee, "il problema del commesso viaggiatore"; questo è uno degli esempi classici dell'utilità della matematica, nonostante i suoi detrattori si affannino a dichiarare l'opposto...

Cos'è l'algebra lineare

L'algebra lineare è il settore della matematica che tratta dei vettori e degli spazi costruiti su di essi, delle trasformazioni lineari e dei sistemi di equazioni lineari; in sostanza studia tutti i fenomeni rappresentabili con equazioni di grado non superiore a 1. Nacque intorno alla metà del XIX secolo, grazie agli studi dei matematici Hamilton, Cayley e Grassmann, avendo come nucleo la teoria dei vettori, cioè quelle entità matematiche che hanno un punto di applicazione, una direzione, un verso e un'intensità e che servono a rappresentare molteplici grandezze fisiche (forza, direzione, accelerazione, campo elettromagnetico, campo gravitazionale, ecc.). Dal caso semplice (e raffigurabile facilmente alla mente umana) dei vettori negli spazi a due dimensioni (il piano) e in tre (lo spazio), l'algebra lineare passò a rappresentare il caso generale di spazi n-dimensionali, in cui n è un qualsiasi numero intero. Stretti rapporti esistono poi tra l'algebra lineare e la geometria analitica lineare, che rappresenta curve "semplici" (rette e piani) nello spazio. Ma anche gli enti geometrici non lineari (per esempio le coniche: parabole, iperboli, ellissi, ecc.) possono essere studiate con i metodi dell'algebra lineare, grazie ad alcuni teoremi che ne garantiscono l'applicabilità. Infine, un settore assai importante dell'algebra lineare, nonché decisamente suo metodo principe, è lo studio delle matrici, oggetti matematici costituiti da tabelle bidimensionali di numeri.

La sua utilità (per i commessi viaggiatori e non solo...)

Già da quanto affermato in precedenza si può facilmente comprendere l'utilità dell'algebra lineare per lo studio di parecchi fenomeni fisici: tutta la fisica classica (Galileo, Newton, Keplero) può essere studiata attraverso modelli matematici che fanno largo uso dei concetti dell'algebra lineare. Analogamente, la fisica moderna (Einstein, Maxwell) fa larghissimo uso delle entità chiamate tensori, una estensione del concetto di vettore. Ma altre applicazioni dell'algebra lineare si hanno nei settori dell'economia, della statistica, della ricerca operativa, ecc. E qui arriviamo al problema di cui parlavamo all'inizio: supponiamo che un commesso viaggiatore debba visitare un certo numero di città; il suo problema è quello di stabilire un tragitto che lo porti a passare per ognuna delle città una e una sola volta facendo sì che il tragitto totale sia minimo (minimizzando in questo modo le spese di trasporto). Il problema cresce di complessità in modo quasi esponenziale con l'aumento delle città da visitare, sicché risulta praticamente impossibile la ricerca esaustiva (calcolare la lunghezza di tutti i percorsi possibili e poi scegliere il minore); sono praticabili soltanto approssimazioni successive che forniscono soluzioni che hanno buone probabilità di avvicinarsi a quella ideale.